Lineare Algebra: Kurzbeschreibung

Die beiden Vorlesungen Lineare Algebra und Analysis sind Grundpfeiler des Mathematikstudiums. Sie behandeln verschiedene Konzepte. Wollte man diese auf Schlagwörter reduzieren, so lauteten sie wohl Limes in der Analysis und Linearität in der Linearen Algebra. Limes heisst auf deutsch auch Grenzwert. Für das Fremdwort Linearität hat sich kein deutscher Begriff eingebürgert. Passend wäre etwa Geradlinigkeit.

Diese Konzepte sind sehr abstrakt und werden in den jeweiligen Vorlesungen von allen erdenklichen Seiten her beleuchtet. Die behandelten Themen scheinen anfangs nichts miteinander zu tun zu haben. Tatsächlich aber werden sie in Kombination zum Schweizer Messer, einem Universalwerkzeug, in den Wirtschafts- und Naturwissenschaften. Erster Schritt beim Studium eines komplizierten Problems ist meist das Linearisieren des Problems: Mittels einer Grenzwertbetrachtung ersetzt man das komplizierte, nicht-lineare Problem durch ein lineares. Dieses lässt sich, wie alle linearen Probleme, exakt und vollständig lösen. Eine derart gefundene Lösung des linearen Problems löst dann zwar nicht das eigentliche Problem in einer exakten Weise, ist aber nahe an einer Lösung. Oft nahe genug für alle praktischen Belange.

In der linearen Algebra werden lineare Gleichungen betrachtet und Methoden vorgestellt, wie man
solche linearen Gleichungen algorithmisch vollständig lösen kann. Um diesen zentralen Begriff der Linearität wird ein ganzes Begriffsgebäude aufgebaut: Lineare Räume, lineare Abbildungen, lineare Unabhängigkeit, und so weiter.
Gewisse geometrische Objekte, wie Geraden oder Ebenen, lassen sich durch Systeme linearer Gleichungen rechnerisch beschreiben. Diese Verbindung zur Geometrie macht lineare Probleme, also Probleme, die sich durch lineare Gleichungssysteme lösen lassen, der geometrischen Intuition zugänglich.

Neben dem grob angedeuteten Inhalt vermittelt die Vorlesung fundamentale Techniken und Konzepte des mathematischen Denkens und Argumentierens, welche durch eigenständig zu bearbeitende Übungsaufgaben eingeübt werden. Es ist vor allem die Betonung des mathematischen Argumentierens, und -anfänglich zumindest- weniger der behandelte Stoff, in dem sich die Lehre an Universität und Schule unterscheiden. Die Anforderungen werden dadurch deutlich höher. Im Gegenzug dafür bieten die Vorlesungen Lineare Algebra und Analysis einen Einstieg in die spannende Welt der höheren Mathematik.

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