Musterlösung Testaufgabe zu Differentialgeometrie

Es sei \(z(t)\) der Schnittpunkt der Kurventangente an den Punkt \(c(t)\) mit der \(x\)-Achse. Es gilt die Gleichung $$z(t)=c(t)+ \zeta(t) \cdot \dot{c}(t),$$ wobei \( \zeta\colon (0,\pi)\setminus \left\{\frac\pi2\right\} \to \mathbb R \) eine reellwertige
Funktion ist. Die Geschwindigkeit berechnet sich als Ableitung $$\dot{c}(t)= \left(\begin{matrix}-\sin t\\ \cos t\end{matrix}\right).$$ Die zweite Koordinate des Schnittpunkt \(z(t)\) verschwindet, das heißt es gilt die Gleichung \(\in t+\zeta(t)\cdot \cos t=0\) und folglich gilt \(\zeta(t)=-\tan t\). Insbesondere ist \(\zeta\) an der Stelle \(t=\frac\pi2\) nicht definiert. Der gesuchte Abstand zwischen \(z(t)\) und \(c(t)\) lässt sich damit wie folgt berechnen $$ \begin{aligned}
\|z-c\|^2 &= |\zeta|^2\cdot \|\dot{c}\| \\
& = |\tan t|^2 \cdot \left( \cos^2 t +\left( \sin t -\frac1{\tan{\frac{t}2}\cdot \cos^2\frac{t}2 \cdot 2}\right)^2\right)\\
& = |\tan t|^2 \cdot \left( \cos^2 t +\left( \sin t -\frac1{2\sin\frac{t}2\cdot \cos\frac{t}2}\right)^2\right)\\
& = |\tan t|^2 \cdot \left( \cos^2 t +\left( \sin t - \frac1{\sin t}\right)^2\right) \\
& = |\tan t|^2 \cdot \left( \cos^2 t + \sin^2 t - 2+ \frac1{\sin^2 t}\right) \\
& = |\tan t|^2 \cdot \left( \frac1{\sin^2 t}-1\right) \\
& = |\tan t|^2 \cdot \frac{1-\sin^2 t}{\sin^2 t}\\
& = |\tan t|^2 \cdot \frac{\cos^2 t}{\sin^2 t} \\
& =1.
\end{aligned}$$
Im zweiten Teil der Aufgabe sei der Anhänger im Punkte \(c={x\choose f(x)}\) und die Zugmaschinge im Punkte \( z={x+a\choose 0}\), wo \(a=a(x)\) als Funktion in der Variablen \(x\) betrachtet wird. Es gilt nach dem ersten Teil der Aufgabe $$1=\|c-z\| =a^2(x)+f^2(x).$$ Die Tangente an die Kurve ist die Gerade zwischen \(c\) und \(z·\) und hat als solche die Steigung $$f'(x)=\frac{-f(x)}{a(x)}=\mp \frac{f(x)}{\sqrt{1-f^2(x)}},$$ je nachdem, ob \(a\) positiv oder negativ ist. Dies ist aber schon die gesuchte Differentialgleichung $$f'=\mp\frac{f}{\sqrt{1-f^2}}.$$