Musterlösungen Übungsblatt 20

Aufgabe 20.1.
Sei \(f\colon X\to Y\) eine stetige Abbildung zwischen metrischen Räumen, wobei \(X\) kompakt ist. Zeigen Sie, dass \(f\) gleichmäßig stetig ist.

Lösung 20.1.
Es sei \(\varepsilon\gt 0\) vorgegeben. Die Menge \[K_\varepsilon:=\left\{(x,x')\in X\times X\mid d_Y\left(f(x),f(x')\right)\ge \varepsilon \right\}\] ist eine abgeschlossene Teilmenge von \(X\times X\) und folglich kompakt. Die stetige Abbildung \(d_X\colon X\times X\to \mathbb R\) bildet die kompakte Menge \(K\) auf eine kompakte Teilmenge von \(\mathbb R_{\ge 0}\) ab, welche die Null nicht enthält. Insbesondere gilt \(\delta:=\min(d_X(K))\gt 0\). Nach Konstruktion gilt für \(x,x'\in X\) mit \(d_X(x,x')\lt \delta\) die Ungleichung \(d_Y\left(f(x),f(x')\right) \lt \varepsilon\).

Aufgabe 20.2.
Sei \(E\) ein Banach-Raum und \(\exp\colon \mathcal L(E,E)\to \mathcal L(E,E)\) die Operatorexponentialfunktion aus Aufgabe 19.2, wobei \(\mathcal L(E,E)\) der Banach-Raum der stetigen linearen Abbildungen mit der Operatornorm ist. Ferner sei \(D\in \mathcal L(E,E)\) ein Operator mit der Eigenschaft, dass \(AD=DA\) für alle \(A\in \mathcal L(E,E)\). Zeigen Sie, dass \(\exp\) in \(D\) differenzierbar ist und berechnen Sie die Ableitung.

Lösung 20.2.
Wegen \(AD=DA\) gilt \(\exp(D+A)=\exp(D)\cdot\exp(A)\) und folglich \[\begin{aligned}\lim_{\|A\|\to 0}\left\|\frac{\exp(D+A)-\exp(D)-\exp(D)\cdot A}{\|A\|}\right\|&=\|\exp(D)\|\cdot\lim_{\|A\|\to 0}\left\|\frac{\exp(A)-1-A}{\|A\|}\right\|\\&\le \|\exp(D)\|\lim_{\|A\|\to 0}\sum_{n=2}\frac{\|A\|^{n-1}}{n!}\\&=0.\end{aligned}\] Die Ableitung von \(\exp\) an der Stelle \(D\) ist also gleich \(\exp(D)\).

Aufgabe 20.3.
Für welche reellen \(\alpha\gt0\) ist die durch \(f(x,y)=(x^2+y^2)^\alpha\) gegebene Funktion \(f\colon\mathbb R^2\to\mathbb R\) differenzierbar?

Lösung 20.3.
Die partiellen Ableitungen \[\frac{\partial f}{\partial x}=2\alpha x(x^2+y^2)^{\alpha-1}\quad \text{ und }\quad \frac{\partial f}{\partial y}=2\alpha y(x^2+y^2)^{\alpha-1}\] sind klar stetig für \(\alpha\in\mathbb R\), falls gilt \((x,y)\not=(0,0)\). Die Differenzierbarkeit der Funktion ist also nur im Nullpunkt \((x,y)=(0,0)\) zu untersuchen. Es sind drei Fälle zu betrachten.
1. Fall \(\alpha \gt\frac12\) In diesem Fall sind die partiellen Ableitungen stetig in den Nullpunkt hinein fortsetzbar durch den Wert \(0\). Aus der stetigen partiellen Ableitbarkeit folgt die Differenzierbarkeit im Nullpunkt.
2. Fall \(\alpha = \frac12\) Die Einschränkung der Funktion auf den Unterraum \(\mathbb R\times \{0\}\) ist die nicht differenzierbare Funktion \(x\mapsto|x|\). Insbesondere ist auch \(f\) nicht differenzierbar.
3. Fall \(\alpha \lt\frac12\) Die Einschränkung der Funktion auf den Unterraum \(\mathbb R\times \{0\}\) ist nicht differenzierbar: Die Ableitung nach \(x\) hat eine Polstelle im Nullpunkt.