Musterlösungen Übungsblatt 21

Aufgabe 21.1.
(a) Zeigen Sie, dass die Abbildung \(f\colon\mathbb C^2\to\mathbb C\) gegeben durch \(f(z,w)=z^2+w^2\) komplex differenzierbar ist und berechnen Sie die komplexe Ableitung.

(b) Berechnen Sie die Komponenten der reellen Darstellung \(f_{\mathbb R}\colon \mathbb R^4\to\mathbb R^2\), die durch \[
f_{\mathbb R}(x,y,u,v) = \big( \mathfrak{Re} f(x+iy,u+iv) ,\, \mathfrak{Im} f(x+iy,u+iv) \big)
\] definiert ist. Berechnen Sie auch die Jacobi-Matrix von \(f_{\mathbb R}\).

Lösung 21.1.
(a) Die komplexe Ableitung ist \(Df(z,w)=(2z,2w)\), denn es gilt \[\begin{aligned}\lim_{(h,k)\to 0}\frac{\left\|f(z+h,w+k)-f(z,w)-(2z,2w)\binom{h}{k}\right\|}{\|(h,k)\|}&=
\lim_{(h,k)\to 0}\frac{\|z^2+2hz+h^2+w^2+2wk+k^2-z^2-w^2-2zh-2wk\|}{\|(h,k)\|}\\&=
\lim_{(h,k)\to 0}\frac{\|h^2+k^2\|}{\|(h,k)\|}\\&\le \lim_{(h,k)\to 0}\frac{|h|^2+|k|^2}{\sqrt{|h|^2+|k|^2}}\\&=0.\end{aligned}\]

(b) Die Abbildung \(f_{\mathbb R}\colon \mathbb R^4\to \mathbb R^2\) ist gegeben durch \(f_{\mathbb R}(x,y,u,v)= \left(x^2-y^2+u^2-v^2, 2xy+2uv\right)\). Die Jacobi-Matrix ist \[\left(\begin{matrix}2x&-2y&2u&-2v\\ 2y&2x&2v&2u\end{matrix}\right).
\]

Aufgabe 21.2.
Sei \(E\) ein reeller Banach-Raum. Eine Teilmenge \(C\subset E\) heißt konvex, falls für alle \(x,y\in C\) und \(t\in[0,1]\) auch \(tx+(1-t)y\in C\) ist. Weiterhin heißt eine auf einer konvexen Menge definierte Funktion \(f\colon C\to\mathbb R\) konvex, falls für \(x\), \(y\) und \(t\) wie oben zusätzlich gilt \[f\big(tx+(1-t)y\big)\le t\,f(x)+(1-t)\,f(y).\]

Sie nun \(U\subset E\) offen und konvex und \(f\colon U\to\mathbb R\) sei differenzierbar. Zeigen Sie, dass \(f\) genau dann konvex ist wenn für alle \(x,y\in U\) gilt \[f(y)\ge f(x)+ f'(x)\,(y-x).\]

Lösung 21.2. Es sind zwei Richtungen zu beweisen.

• Es gelte für alle \(u,v\in U\) die Ungleichung \(f(v)\ge f(u)+ f'(u)\,(v-u)\). Es sei \(u=tx+(1-t)y\) für ein \(t\in[0,1]\) und \(x,y\in U\). Multiplizieren wir die Ungleichungen \[\begin{aligned}f(y)&\ge f(u)+f'(u)(y-u)\\
  f(x)&\ge f(u)+f'(u)(x-u)\end{aligned}\] mit den nicht-negativen Zahlen \(t\) und \((1-t)\), so erhalten wir die Ungleichungen \[\begin{aligned}(1-t)f(y)&\ge (1-t)f(u)+f'(u)\left((1-t)y-(1-t)u\right))\\
  tf(x)&\ge t f(u)+f'(u)(tx-tu).\end{aligned}\] Addition der Ungleichungen liefert \[\begin{aligned}tf(x)+(1-t)f(y)&\ge f(u)+f'(u)\left((1-t)y+tx-u\right))\\
  &= f\left(tx+(1-t)y\right).\end{aligned}\]
• Für alle \(x,y\in U\) gelte \(f\big(tx+(1-t)y\big)\le t\,f(x)+(1-t)\,f(y)\). Die Richtungsableitung im Punkte \(y\) in Richtung \(v=x-y\) lässt sich abschätzen \[f'(y)(x-y)=D_vf(y)=\lim_{t\to 0}\frac{f\Big(y+t(x-y)\Big)-f(y)}{t}\le \lim_{t\to 0}\frac{\Big(t\,f(x)+(1-t)\,f(y)\Big)-f(y)}{t}=f(x)-f(y).\]

Aufgabe 21.3.
Sei \(A\in Mat_{\mathbb R}(3,3)\) symmetrisch und positiv definit, d.h. es gelten \(A=A^t\) und \(\langle x,Ax\rangle\gt0\) für alle \(x\in\mathbb R^3\setminus\{0\}\) wobei \(\langle\,,\,\rangle\) das Euklidische Skalarprodukt bezeichnet. Aus der linearen Algebra ist bekannt, dass durch \(\langle x,y\rangle_A=\langle x,Ay\rangle\) wieder ein Skalarprodukt auf \(\mathbb R^3\) gegeben ist.

Berechnen Sie die Gradienten der Funktion \(f(x,y,z)=x+\frac12y^2+\frac13z^3\) bezüglich der Skalarprodukte \(\langle\,,\,\rangle\) und \(\langle\,,\,\rangle_A\) für \(A=\left(\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{smallmatrix}\right)\).

Lösung 21.3.
Es bezeichne \(\nabla f\) den Gradienten bezüglich des Standard-Skalarprodukts und \(\nabla^Af\) den Gradienten bezüglich des Skalarproduktes \(\langle\,,\,\rangle_A\). Für \(h=(h_1,h_2,h_3)\in \mathbb R^3\) gilt \[df(x,y,z)h=\sum_{n=1}^3\partial_nf(x,y,z)\cdot h_n=h_1+yh_2+z^2h_3=\langle \nabla f,h\rangle=\langle \nabla^A f,h\rangle_A.\] Folglich gilt \(\nabla f(x,y,z)=(1,y,z^2)\) und \(\nabla^Af(x,y,z)=(1,\frac12y,\frac13z^2)\).