Musterlösungen Übungsblatt 24

Aufgabe 24.1.
Der Laplace-Operator auf \(\mathbb R^n\) ist definiert als \(\Delta = \sum_{i=1}^n\frac{\partial^2}{\partial x_i^2}\). Daraus bildet man auf \(\mathbb R\times\mathbb R^n\) den Wärmeleitungsoperator \(\partial_t-\Delta\) und den Wellenoperator \(\partial_t^2-\Delta\).

(a) Es sei \(h\colon \mathbb R_{\gt0}\times\mathbb R^n\) definiert durch \(h(t,x) = t^{-\frac n2}\,e^{-\frac{\lVert x\rVert^2}{4t}}\). Berechnen Sie \((\partial_t-\Delta)h\).

(b) Es sei \(g\colon\mathbb R^2\to\mathbb R^2\) zweimal stetig differenzierbar sowie \(c\gt0\) und \(v\in\mathbb R^n\) mit \(\lVert v\rVert=1\). Berechnen Sie \((\partial_t^2-\Delta) w\) für \[w\colon \mathbb R\times\mathbb R^n\to\mathbb R,\hspace{30pt} w(t,x) = g\big(\langle v,x\rangle - tc\big).\]

Lösung 24.1.

Aufgabe 24.2.
Es sei \(p\colon\mathbb R^2\to\mathbb R^2\) gegeben durch \(p(r,\varphi)=(r\cos\varphi,r\sin\varphi)\) und \(f\colon\mathbb R^2\to\mathbb R\) zweimal stetig differenzierbar. Sei \(F=f\circ p\) die Komposition, also \(F(r,\varphi)=f(r\cos\varphi,r\sin\varphi)\). Zeigen Sie: \[(\Delta f)\big(r\cos\varphi,r\sin\varphi\big) = \frac{\partial^2 F(r,\varphi)}{\partial r^2} + \frac1{r^2}\frac{\partial^2 F(r,\varphi)}{\partial \varphi^2} +\frac1r\frac{\partial F(r,\varphi)}{\partial r}\] 

Lösung 24.2.

Aufgabe 24.3.
Sei \(A\in Mat_{\mathbb R}(n,n)\) und \(f\colon \mathbb R^n\setminus\{0\}\to \mathbb R\) gegeben durch \(f(x)=\frac{\lVert Ax\rVert^2}{\lVert x\rVert^2}\) (wie üblich ist die Euklidische Norm gemeint). Zeigen Sie:

(a) Die Menge der kritischen Punkte von \(f\) stimmt mit der Menge der Eigenvektoren von \(A^tA\) überein.

(b) Für die bezüglich der Euklidischen Norm auf \(\mathbb R^n\) gebildeten Operatornorm gilt \(\lVert A\rVert_{op}=\sqrt{\lambda_\max (A^tA)}\) wobei \(\lambda_\max (A^tA)\) den größten Eigenwert von \(A^tA\) bezeichnet. 

Lösung 24.3.